第七讲 积极的无限性理论

积极的无限性理论以及由之产生的数的一般理论，乃是哲学上的科学方法取得的一个巨大成功，因而特别适于作为说明这种方法的逻辑分析特性的例证。数学家们已经做过这个课题的工作，其成果可用数学符号系统表达出来。于是，人们也许会说，为什么这个课题应当看作是哲学的而不是数学的呢？这就提出了一个困难的问题，这个问题部分地与语词的使用有关，部分地对理解哲学的功能亦有现实的重要意义。任何题材似乎都既可以产生相应的专门的科学，也可以引起哲学的研究，这两种研究的区别在于活动方向不同，所要确立的真理之种类不同。各门科学在其已经充分发展时，研究活动是向前的和综合的，是从简单到复杂。但是在哲学上我们则沿着相反的方向进行研究：我们是借助分析从复杂而相对具体的东西进到简单和抽象的东西，在这个过程中力求消除原来题材的特殊性，而完全贯注于有关事实的逻辑形式。

哲学与纯数学有一定的相似性，即二者都是普遍的和先天的。二者都不断定如历史、地理那样的依赖实际具体事实的命题。我们可用莱布尼茨的观点来说明哲学和纯数学的这个特征，他认为有许多可能的世界，其中只有一个是现实的。在所有的可能世界中，哲学与数学都会是相同的；只是在描述性科学所记录的那些特殊事实方面才有区别。因此我们的现实世界之有别于其他抽象的可能世界的任何性质，数学和哲学都置而不论。不过，数学和哲学研究一切可能世界所共有的普遍性质的方法则有所不同；数学是从比较简单的命题出发，用演绎的综合去构造愈来愈复杂的结果，哲学则是从常识的材料出发，去把这些材料加以纯化并概括成具有抽象形式的最简单的陈述，这种抽象形式的陈述是可以通过逻辑分析由这些材料得到的。

哲学与数学的区别可以现在讨论的这个问题即数的性质问题为例来说明。二者都是从关于数的检验明白无误的某些事实出发的。但是数学利用这些事实推演出愈来愈复杂的定理，而哲学则通过分析深入到这些事实的背后，去找出更简单、更根本、内在地更适于作算术科学之前提的其他事实。“数是什么？”的问题是这个论题中明显的哲学问题，而数学家只要充分知道数的性质就能演绎定理，他就无需问这个问题。我们讨论的对象既然是哲学的，因此我们必须尽力解决哲学家的问题。我们将可看到，我们在本讲中对“数是什么？”的问题得到的回答，也暗含着对上一讲考察的无限性困难的回答。

直到最近以前，“数是什么？”的问题从未以能够提供一个明确答案的方法考察过。哲学家们满足于诸如“数是多中之一”之类的含糊不定的断语。曾使哲学家们感到满意的一个典型的这类的定义是西格瓦特《逻辑》（第66节，第3小节）中所说的：“每个数不仅是一个多，而且是一个被认为集合在一起从而成为一的多。”在这种定义中有一个基本的错误，与我们因为有些花是黄的就说“黄是一朵花”时所犯的错误是同类性质的。以数3为例。我们可以设想把三个事物的集合描述为“一个被集合在一起从而成为一的多”；但是三个事物的集合并不是数3。数3是三个事物组成的一切集合所共具的某种东西，但其本身并不是一个由三个事物组成的集合。因此，这个定义不仅有别的缺点，而且它也没有达到必要程度的抽象：数3是比任何三个事物的集合更抽象的东西。

不过，这类含糊的哲学定义正因其异常之含糊，所以始终没有发生什么作用。大多数思考过数的人心中所想的实际是认为数是计数的结果。西格瓦特在开始讨论数时说：“自发地把数的系列延长到无限的可能性是建立在对计数规律的意识之上的。”认为数是由计数产生的这种观点一直是使人们理解无穷数的主要心理障碍。计数是人们所熟悉的，因而被误以为是简单的，其实它是一个高度复杂的过程，除非计数所得到的数独立于它所由以得到的这个过程而具有一种意义，那么计数是没有任何意义的。无穷数根本不可能用这种方法得到。这个错误与把牛定义为可从牛贩子处买得之物所犯的错误是同类性质的。一个人如果认识一些牛贩子却从没有见过牛，对于他这也许是一个极好的定义。但是如果他出外旅行时经过一群野牛，他就一定会说它们根本不是牛，因为没有一个牛贩子能贩卖它们。同样，无穷数不能通过计数得到，因而也就被宣布为根本不是数。

略费片刻考察一下计数实际是什么，当是值得的。我们计数一组对象时，就是让自己的注意力从一个对象移到另一个对象，直到对每个对象都注意了一次，同时按着每一依次相续的注意活动的顺序说出各个数的名字。在这个过程中最后一个被指名的数就是这些对象的数，因此计数是发现对象为何数的一种方法。但是计数活动实在是非常复杂的，以为它是数的逻辑来源的那些人明显地表现出他们缺乏分析的能力。首先，当我们计数时我们说“一，二，三……”，除非我们赋予一，二，三……这些词以某种意义，否则是不能说我们发现了所数对象的数的。一个儿童可能学习依次认识这些词，像读字母一样正确无误地把它们复述出来，但是并未赋予这些词任何意义。从听他说话的成年人的观点来看，这样的儿童可能正确地数数，但根本没有数的观念。事实上，只有对数是什么已有某种观念的人才能理智地进行计数活动；由此可见，计数并未提供数的逻辑基础。

再说，我们怎么知道计数过程得到的最后的数就是所数对象的数呢？这正是我们过分熟悉而竟至不知其意义的那些事实之一；但是想当逻辑学家的人却必须养成仔细研究这种事实的习惯。这个事实涉及两个命题。第一个命题是：从1到任一给定的数，所有这些数的数就是这个给定的数，例如，从1到100所有的数的数就是100；第二个命题是：如果有一组数可用作一组对象的名字，每个数只出现一次，那么被用作名字的这些数的数和对象的数相同。在有穷数的范围内，对第一个命题可以很容易地做出算术的证明；但是对于第一个无穷数之后的无穷数来说，这个命题却不再是真的了。第二个命题则对于无穷数也还是真的，而且我们将看到，这个命题事实上是数的定义的一个直接的结果。但是由于第一个命题在涉及无穷数时是假的，计数即使是实际可能的，也不会成为发现无穷集合中诸项之数的有效的方法，而且按照进行计数的方法事实上会提供不同的结果。

已知的无穷数之区别于有穷数有两个方面：第一，无穷数具有一种我称为自反性的性质，有穷数不具有这种性质；第二，有穷数具有一种我称为归纳性的性质，无穷数不具有这种性质。我们且依次考察一下这两种性质。

（1）自反性。——一个数如果加1而不增加，就叫做自反的。由此可立即推知，可把任何有穷数加于一个自反数而不使其增加。直到晚近以前，人们总认为无穷数的这种性质是自相矛盾的；但是通过康托尔的工作，人们已逐渐承认，这种性质初看虽令人感到惊讶，但是它并不是自相矛盾，正如生活在地球相反一面的人并不摔出地球这个事实不是自相矛盾一样。由于无穷数具有这种性质，设有任一对象的无穷集合，我们都可以把任何有限数目的对象加上去或取出来，而并不增加或减少这个集合的数。在某些条件下，甚至把无穷多的对象加上去或取出来，也不改变这个集合的数。我们可借几个例子说明这一点。

假设把所有的自然数0，1，2，3，……写成一行，紧接着在下面写1，2，3，4，……

0，1，2，3，……n……

1，2，3，4，……n+1……

使得1在0下，2在1下，如此等等。于是上一行的每个数在下一行中都有一个数直接在它下面，而且没有一个数在任一行中出现两次。由此推知，这两行数的数目必是相同的。但是在下一行中出现的数在上一行中也出现，不过上一行中多一个数，即0；因此上一行中诸项的数是把下一行的数加一而得到的。因此，只要我们认为一个数必因加以1而增加，上述这种情况就构成一种矛盾，而且要导致否认有无穷数。

下面的例子甚至更令人吃惊。试将自然数1，2，3，4，……写在上行，将偶数2，4，6，8，……写在下行，使得上一行中的每个数在下一行中都有它的倍数。于是，像前例一样，这两行数的数目是相同的，然而第二行是从上一行中去掉了所有的奇数（这是一个无穷集合）而得到的。这个例子是莱布尼茨提出来，用以证明不可能有无穷数的。他相信有无穷集合，但是他认为一个数被加时必增加，被减时必减少，因而他主张无穷集合是不具有数的。他说：“一切数的数暗含着一个矛盾，这个矛盾我指出是这样的：任何数都有一个对应的等于它的倍数的数。因此一切数的数并不大于一切偶数的数，亦即全体并不大于部分。”(1)在讨论这个论证时，我们应当用“一切有穷数的数”代替“一切数的数”；这样我们就得到恰恰如上面两行数所提供的一个例解：一行包括一切有穷数，另一行只包括偶数有穷数。我们将看到，莱布尼茨认为主张全体不大于部分是自相矛盾的。但是“大于”一词是一个可能有多种涵义的词；为了我们的目的，我们必须代之以较少歧义的片语“含有更大数目的项”。在这个意义上，全体和部分相等，并非自相矛盾；正是对这一事实的领悟才使现代的无限性理论成为可能。

在伽利略论运动的对话的第一篇中，对无限的全体的自反性有一段有趣的讨论。我从1730年的英译本中引用这一段话。参加对话的人物是：萨尔维阿蒂、沙格列陀和辛普利齐乌斯，他们的辩论如下：

“辛：这里已经产生了一个我认为无法解决的疑问，这就是：既然明白假定一条线长于另一条线，而且二者都包含无限多的点，我们当然必须推论说，我们在同一种类中发现了大于无限的东西，因为较长的线的点的无限性大于较短的线的点的无限性。但是指定有一个大于无限的无限，是我无法设想的。

“萨：这是我们以有限的理解力讨论无限物所引起的困难之一，我们把赋予有限物的属性赋予无限物，我认为这是不正确的，因为大、小、相等这些属性与无限性是不相符合的，我们不能说一个无限性大于、小于或等于另一个无限性。我想到某种可以证明这一点的东西，我要向引发这个困难的辛普利齐乌斯发问来提出我所考虑的东西。首先，我想你知道什么是平方数，什么不是平方数吧？

“辛：我知道得非常清楚，平方数就是任何数自乘而得的数；例如4和9是平方数，4是2自乘的结果，9是3自乘的结果。

“萨：很好，你也知道，自乘的积叫做平方，自乘的因子叫做根；其他的数如果不是由数自乘而得的，就不是平方。因此试把所有的数，包括平方数和非平方数，都加以考虑，如果我说非平方数多于平方数，我不是说得对吗？

“辛：毫无疑问是对的。

“萨：那么我们继续谈下去，如果我问你有多少平方数？你会正确地回答说，像它们自己的根一样多，因为每个平方都有自己的根，每个根都有自己的平方，而且任何平方都没有一个以上的根，因而任何根也没有一个以上的平方。

“辛：说得很对。

“萨：但是如果我问有多少平方根，你只能承认像数一样多，因为没有任何数不是一个平方的根。承认了这一点，我们也可以肯定平方数和数一样多；因为有多少平方就有多少根，有多少根就有多少数。然而在开始的时候我们说过，数比平方数多得多，大部分的数不是平方数。当我们继续进到较大的数时，平方与数的比例就愈是减小，数到100时，你就发现只有10个平方数，即1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，就是说只有1/10是平方数；在1万中只有1%是平方数；在100万中只有1‰是平方数。然而在一个无穷数中，如果我们只得领悟它的话，那么我们可以说，平方与所有的数加在一起一样多。

“沙：那么在这种情况下我们须如何确定呢？

“萨：我看没有别的办法，只有说所有的数都是无限的；平方是无限的，它们的根是无限的，而且平方的数并不少于数的数，数的数也不少于平方的数，于是我们可以得出结论：相等、大、小的属性或词语在无限物中没有地位，而只能用于有限的量。”(2)

上述讨论中伽利略阐述问题的方法是值得称道的，但是他提出的解决方法并不正确。实际上，平方（有穷）数的数和（有穷）数的数是相同的。只要我们限制在小于某一给定的有穷数的范围内，随着这个有穷数之增加，平方的比例就逐渐趋近于0，这个事实与下面这个事实即一切有穷平方的数和一切有穷数的数相同，并不矛盾。这不过是今天数学家已经熟悉的一个事实的例子，即当变数趋近某个点时，函数的极限与当变数实际达到该点时函数的值可能是不同的。尽管伽利略讨论的无穷数是相等的，但是康托尔已经指出，辛普利齐乌斯不能设想的东西却是真的，就是说，有无穷多的不同的无穷数，而且较大和较小的概念也完全可应用于它们。辛普利齐乌斯的全部困难显然来自他的这个信念：如果较大和较小可用之于无穷数，那么无穷集合的一部分所有的项必较其全体所有的项为少；如果把这个信念否定了，一切矛盾就消失了。至于引起上述讨论的线的长度问题则涉及较大和较小的一种非算术的意义。一条长线和一条短线上的点的数是相同的，事实上所有空间上的点的数都是相同的。测量几何学上的较大较小包含着叠合这个测量学的新概念，这个概念不可能从单纯算术的研究发展出来。但是这个问题并不具有属于算术的无限性理论的那种根本的重要性。

（2）非归纳性。——无穷数之区别于有穷数的第二个特性是非归纳性。我们最好通过对归纳性这种正面性质的定义来说明非归纳性。归纳性是有穷数的特征，是根据通称为“数学归纳法”的证明方法而被名之为归纳性。

我们先考察一下把某个系列中的一种性质叫做“遗传性的”是什么意思。试以姓为琼斯这种性质为例。假定一个人姓琼斯，他的儿子就也姓琼斯；因此我们就其父子关系方面称姓琼斯这种性质为遗传的。如果一个人姓琼斯，那么他的所有男性直系后裔就都姓琼斯；这是来自这种性质是遗传的这个事实。现在我们放下父子关系来考察一下一个有穷数及其直接后继的关系，即如0和1，1和2，2和3等等的关系。如果数的一种性质就这种关系来说是遗传的，那么这种性质若属于（比如说）100，它就必然也属于所有大于100的有穷数；因为它既然是遗传的，那么由于它属于100，它也就属于101，由于它属于101，它也就属于102，如此等等——这里这个“如此等等”或迟或早会把我们带到任何大于100的有穷数。例如，大于99这个性质在这个有穷数系列中是遗传的；一般地说，假定任何一个数具有一种性质，其下一个数也必然总是具有这种性质，那么这种性质在这个系列中就是遗传的。

我们将会看到，一种遗传的性质，虽必然属于所有大于某个具有这种性质的数的有穷数，但不必属于所有小于这个数的数。例如，大于99这种遗传的性质属于100和所有更大的数，但不属于任何小于100的数。同样，姓琼斯这种遗传的性质属于具有这种性质的那些人的所有（男性直系）后裔，但不属于他们的一切祖先，因为我们最后会追溯到第一代琼斯，在他之前的祖先是没有姓氏的。不过，亚当具有的任何遗传的性质显然必定属于所有的人，同样，0所具有的任何遗传的性质必定属于一切有穷数。这就是所谓“数学归纳”原则。当我们想要证明一切有穷数都具有某种性质时，我们常常首先须证明0具有这种性质，然后证明这种性质是遗传的，就是说，如果它属于某个数，那么它就也属于其下一个数。由于这种证明被称为“归纳的”，我就把可做归纳证明的性质称为“归纳的”性质。因此数的归纳的性质就是一种遗传的并属于0的性质。

试以任一自然数，如29为例。不难看出，它必然具有一切归纳的性质。因为既然这些性质属于0而且是遗传的，它们就也属于1；因此，它们既然是遗传的，它们就也属于2，依此类推；把这种论证重复29次，我们就证明了这些性质属于29。我们可以把“归纳的”数定义为所有具有一切归纳性质的数；它们与所谓“自然”数即普通有穷整数是同一的。对所有这样的数都可以有效地应用数学归纳法的证明。可以大致地说，它们是可以从0开始连续不断地加1而得到的那些数；换言之，它们是所有可通过计数而得到的数。

但是在所有这些数之外，还有无穷数，而无穷数是没有任何归纳性质的。因此这样的数可称为非归纳性的。我们根据想像从一个数到下一个数一步步地证明的数的一切性质，一进入无穷数很可能就全都没有了。第一个无穷数没有直接的前趋，因为不存在最大的有穷数；因此从一个数到下一个数步步相继前进永远也不会从有穷数达到无穷数，一步步的证明方法在这里失效了。这是人们以为无穷数是自相矛盾的另一个理由。数的很多最常见的性质，以往人们一直习惯地认为是逻辑必然的，实际上只能用步步前进的方法证明，对无穷数是不适用的，但是我们一旦懂得了这些性质必须用数学归纳法来证明，而这种证明方法的适用范围是极其有限的，就会明白人们设想的矛盾并不违反逻辑，而只是违反了我们的成见和心理习惯。

我们可以由加1而增大的性质即非自反性为例来说明数学归纳法的局限性。我们很容易证明，0加1就增大了，如果某个数被加1而增大，那么其下一个数即由加l而得的数也是如此。由此推知，每个自然数都是由加1而增大的。一般地说这是从这个普遍的论证推出来的，而就每一特殊的数来说则是通过对这个论证的大量应用而推出来的。我们首先证明，0不等于1；其次，既然由加1而增大的性质是遗传的，由此可知1不等于2；由此又可推知，2不等于3；如果我们想证明30000不等于30001，只须把这个推论重复30000遍就可以了。但是我们不可能用这种方法证明，所有的数都由加1而增大；我们只能证明，对于可通过从0开始连续加1而得的数，这种方法是适用的。具有自反性的数即超出一切可以这种方法得到的数之外的数，事实上并不因加1而增大。

无穷数的特征，即自反性和非归纳性这两种性质，迄今尚未证明总是连在一起的。我们已知一切自反性的数都是非归纳性的，但是我们还不知是否一切非归纳性的数都是自反性的。许多作者，包括我自己在内，曾经发表过关于这个命题的错误证明，但直到现在还未发现一个站得住脚的证明。不过，我们实际知道的无穷数都既是非归纳性的又是自反性的；因此，在数学的实践上而不是在理论上，这两种性质总是联系在一起的。既然所有已知的数都或者是归纳性的，或者是自反性的，因此，对我们的目的来说，把也许有非归纳性的非自反性的数这种纯粹的可能性撇开，是方便有利的。

当无穷数最初被介绍给人们的时候，人们往往拒绝把它们名之曰数，因为无穷数的性能与有穷数迥然不同，把它们叫做数似乎是故意滥用名词。为了反驳人们的这种看法，我们现在必须转到算术的逻辑基础，讨论一下数的逻辑定义。

数的逻辑定义对于无穷数理论虽似乎是一个重要的支持，但事实上它是由另外的人独立发现的。无穷数理论（这是指这个理论的算术部分而非逻辑部分）是康托尔发现的，发表于1882至1883年。(3)数的定义是大约同时由一位其伟大天才一直未得到应有的承认的人物发现的，我指的是耶拿的弗雷格。他的第一部著作《概念演算》（发表于1879年）包含有关于一个系列中遗传的性质（我在讨论非归纳性时已经谈到这种性质）的极重要的理论。他对数的定义包含在1884年发表的第二部著作，题为《算术的基础，关于数的概念的逻辑—数学的研究》一书中。(4)算术的逻辑理论即以此书为开端，略微详细地考察一下弗雷格的分析不会是徒劳的。

弗雷格首先注意到对数学证明上逻辑严格性的日益增长的要求，这是现代数学家不同于前人的地方。他指出这种要求必然导致对数的定义作批判的研究。他进而指出，以往的哲学理论，尤其是康德的“先天综合”理论和穆勒的经验论，都是不适当的。这就使他提出一个问题：严格说来，究竟可以把数归于一类什么对象？他指出，物理的东西是可以看做一或多的，例如一棵树有一千片叶子，它们可被集在一起来看构成树叶，我们可把整个树叶算做一，而不是一千；一双靴子和两只靴子是同一对象。由此可见，物理的东西不是可用数来恰当述谓的主词；因为当我们发现了真正的主词时，被归之于它的数必须是毫不含糊的。由此又进而讨论了认为数实际是某种心理的主观的东西的非常流行的观点，弗雷格断然否定了这种观点。他说：“数正如北海一样不是心理学的对象或心理过程的产物。……植物学家要对植物有所陈述，他讲的无论是花瓣的数目，还是花的颜色，同样都是事实。二者都不是我们的主观臆想所决定的。因此在数和颜色之间有某种相似性；但是这种相似性并非二者都是外间事物中可感知的东西，而是在于二者都是客观的。”（第34页）

弗雷格继续说：“我把客观的与可触的、空间的与实在的区别开来。地球的轴、太阳系质量中心是客观的，但是我不会称它们为实在的，像地球本身之为实在的那样。”（第35页）他的结论是：数既不是空间的和物理的，也不是主观的，而是非感性的和客观的。这个结论很重要，因为它适于数学和逻辑的一切对象。大多数哲学家一直认为，物理的东西和心理的东西二者一起穷尽了全部的存在。有些哲学家论证说，数学对象显然不是主观的，因而必然是物理的和经验的；另一些哲学家则论证说，数学对象显然不是物理的，因而必然是主观的和心理的。这两派就其所否定的东西而言都是正确的，就其所肯定的东西而言则都是错误的；弗雷格的功绩在于接受了这两派所做的否定，并且找到了第三种主张，即承认有既非心理的又非物理的逻辑的世界。

正如弗雷格指出的，事实上任何数，即使1这个数，都不可能应用于物理的东西，而只能应用于诸如“人”，“地球的卫星”，“金星的卫星”之类的通名或摹状词。“人”这个通名可用之于一定数目的对象：世界上有多少多少人。哲学家们觉得要断定一个数必须有一种统一性，这是对的，这种统一性就是通名的统一性，而通名正是数的真正主词。当只有一个对象或没有一个对象归于这个通名之下时，这一点也同样适用。“地球的卫星”是只能应用于一个对象即月亮的名词。但是“一”并不是月亮本身的性质，我们同样很可以把月亮看作许多的分子，“一”乃是“地球的卫星”这个通名的一种性质。同理，0是“金星的卫星”这个通名的一种性质，因为金星并没有卫星。这里我们才终于有了一个关于0这个数的可以理解的理论。如果数适用于物理对象，关于0的这种理论就是不可能的，因为显然任何物理对象都不可能具有0这个数。于是，我们在寻求数的定义上现在已经达到这个结果：数是通名或普遍摹状词的性质，而不是物理的东西或心理的现象的性质。

我们无需做任何重大的变化，就可将通名可用于其上的对象的类或集合（在上例中即是“人类”）代替像“人”这样的通名，作为可用数来断言的主词。两个通名，如“人”和“无羽毛的两足动物”，可应用于同一对象集合，显然具有同样数目的实例；因此数决定于类，而不决定于选择这个或那个通名来描述它，假如可以找到几个通名来描述同一个类的话。但是要描述一个类，总是需要用某个通名。即使我们把各个项如“这个，那个和另一个”都枚举出来了，集合还是由这个或那个或另一个的普遍性质构成的，而且惟其如此才得到了使我们能够把它作为一个集合来谈论的那种统一性。在无穷类的情形中，枚举是不可能的，因而惟一可能的描述是用此类分子共同特有的一种普遍特征进行描述。由此可见，弗雷格从纯逻辑的研究而提出的数的理论也可用以表明，无穷类虽不可能枚举，却如何能受数的制约。

弗雷格接着又提出一个问题：两个集合何时具有同样数目的项？在日常生活中，我们是通过计数来判定这个问题的；但是我们已经看到，就无穷集合来说，计数是不可能的，而对于有穷集合，计数也不是逻辑上根本性的东西。因此，我们需要一种不同的方法回答我们的问题。举一个例子可能有助于说明这种方法。我不知道在英国有多少已婚的男人，但是我的确知道，已婚男人的数和已婚女人的数是相同的。我知道这一点的理由是夫妻关系把一个男人联系于一个女人，并把一个女人联系于一个男人。这种关系叫作一对一关系。父对子关系叫做一对多关系，因为一个人只能有一个父亲，但可有许多儿子；反之，子对父关系则叫做多对一关系。但是夫妻关系（在基督教国家）叫作一对一关系，因为一个男人不可能有一个以上的妻子，一个女人也不可能有一个以上的丈夫。凡是一个集合的所有的项和另一集合的所有的项各自之间有一对一关系，如英国丈夫和英国妻子的例子那样，那么这个集合中项的数目和那个集合中项的数目就是相同的；但是如果没有这样一种关系，那么两个集合中项的数目就是不同的。这就是对“两个集合何时具有同样数目的项”这个问题的回答。

现在我们终于可以回答“某个集合中项的数是什么意思？”这个问题了。当一个集合的所有的项和另一集合的所有的项各自之间有一种一对一的关系时，我们就说这两个集合是“相似的”。我们刚刚看到了，两个相似的集合具有同样数目的项。我们由此而把某个集合的数定义为所有与之相似的集合的类；这就是说，我们提出了下面这个形式的定义：

“某个类的项的数”被定义为意指“所有与该类相似的类的类”。

正如弗雷格指出的，这个定义（他是以略微不同的说法表述的）给出了数的常见的算术的性质。这个定义可同样应用于有穷数和无穷数，而且它无须承认一大堆什么新颖神秘的形而上学的存在物。它表明，用以给数下定义而又可用数加以断定的并不是物理的对象，而是类或通名；它适用于0和1，却没有其他理论在讨论这两个特例时所遇到的任何困难。

上述这个定义乍一看一定会产生一种奇特的感觉，这种感觉很容易引起某种不满。例如，它把2这个数定义为所有对偶的类，把3这个数定义为所有三个一组的类。这似乎不是迄今我们说2和3时所意指的东西，虽然很难说我们以往究竟意指的是什么。对一种感觉的回答不可能是一种逻辑的论证，但无论如何在这种情况下回答是不无重要性的。首先，我们会看到，一个观念作为未经分析的整体已逐渐为人们所熟悉，当它最初被精确地分解为各个组成部分（这就是我们在定义它时所做的工作）时，总会有一种由这种分析引起的新奇的感觉，这种感觉则有使人们反对这个定义的倾向。其次，可以承认，这个定义也像一切定义一样，在一定程度上是任意的。拿2和3这样很小的有穷数来说，也许有可能作出同对我们所意指之物的未经分析的感觉更切合的定义；但是这样定义的方法会缺乏一致性，而且迟早（最迟不过在我们达到无穷数的时候）会被发现是不中用的。

第三，对于诸如数的定义这样的定义，真正需要的并不是它应该尽可能近似地表现那些不作分析（这是为了得到定义所必需的）的人们的观念，而是它应该提供给我们具有必不可少的属性的对象。事实上，数必须满足算术公式；任何能满足这个要求的明确的对象集合都可以称为数。迄今我们所知能满足这个要求的最简单的集合就是上述定义所提出的集合。至于这个定义适用的对象同那些提不出一个定义来的人们所考虑的关于数的含糊观念是否类似，则是一个极不重要的问题。所有重要的要求，上述定义都满足了，奇特之感在开头是不可避免的，随着逐渐熟悉，这种感觉很快就会消逝了。

不过，有某种逻辑学说可能被认为是对数即类的类这个定义的驳斥，我是指认为根本没有类这种对象的学说。人们也许以为，这个学说会摧毁把数还原为类的理论以及其他许多使用类的理论。然而，这是错误的：虽然这个学说认为类是虚构的，但是这丝毫无损于这些理论中的任何一个理论。这是一个什么学说，这个学说为什么不是破坏性的，我试来做一简略的解释。

由于碰到一些相当复杂的困难，而且这些困难达于极致竟成为确定的矛盾，使我得到一种看法：凡是对事物即殊相可以有意义地言说的东西，都不可能对事物的类有意义地（即有真假地）言说。这就是说，在提到一个事物的任何语句中，如果用类代替这个事物，这个语句就不再具有任何意义了：这个语句不再是或真或假的，而是一个无意义的语词集合。稍加反思就可以把它似乎是有意义的假象一扫而光了。例如，在“亚当喜欢苹果”这个句子中，你可代之以人类，而说“人类喜欢苹果”。但是你的意思显然不是说有一个叫做“人类”的爱吃苹果的个人，而是说组成人类的各个个人每人都喜欢苹果。

如果对一个事物可以有意义地言说的东西都不可能对事物的类做有意义的言说，那么就可推知，事物的类与事物不可能具有同类的实在性；因为二者如果具有同类的实在性，那么在一个述谓二者共具的那类实在性的命题中，就可以用类代换事物了。这种观点实际上是符合常识的。公元前3、4世纪，有一位中国哲学家名叫惠施，他说：“一匹栗色马加一头褐色牛等于三；因为分开来看它们是二，合起来看它们是一：二加一等于三。”(5)我所引用的那位作者说，惠施“特别喜欢古希腊智者派或不健全的推理家们也非常喜欢的那种诡辩”，这无疑代表了常识对这类论证的看法。然而如果事物的集合也是事物，那么他的主张就是驳不倒的。只是因为栗色马和褐色牛合在一起并不成为一个新的事物，我们才能避免做出结论说，凡是有两个事物的地方，就有三个事物。

当我们承认了类不是事物的时候，又发生了一个问题，即我们在名义上对类所作的陈述究竟何所指呢？例如下面这个陈述：“对数理逻辑有兴趣的这类人不是很多的。”这个陈述显然可变为：“并非有很多人对数理逻辑有兴趣。”为了明确起见，我们试以某个特殊的数，比如三，代换“很多”。于是我们的陈述就成了：“并非有三个人对数理逻辑有兴趣。”这个陈述可以下面的形式来表述：“如果X对数理逻辑有兴趣，并且Y也有兴趣，并且Z也有兴趣，则X与Y相同，或X与Z相同，或Y与Z相同。”这里根本不再涉及“类”。所有名义上关于类的陈述都可以用这样的方法化为关于从假定任何事物具有类的确定性质而推得的东西的陈述。因此，为了使对类的字面使用成为合法的，我们只需要一种一致的方法，把包含类的使用的命题加以解释，从而得到其中不再使用类的命题。给这种方法下定义是一件技术性的事情，怀特海和我在别的地方曾作过探讨，此处无需赘述。(6)

如果我们承认类是纯粹符号的理论，那么由此就可推出，数也不是实在的存在物，在字面上包含有数的命题实际上并没有任何与数相应的成分，而只有一定的逻辑形式，这种逻辑形式不是具有这种形式的命题的一部分。事实上，逻辑和数学的一切表面的对象都是如此。诸如或，不，如果，有，相等，大于，加，无一物，每一物，函数之类的语词，都不是如“约翰”或“琼斯”这样的确定对象的名字，而是在一种语境上才具有意义的语词。所有这些语词都是形式的，就是说，它们的出现表示命题有某种形式，而不表示有某种成分。简而言之，“逻辑常项”不是存在物；表达逻辑常项的语词不是名字，除非我们讨论的是这些语词本身而不是它们的意义，否则把它们作为逻辑主词是没有意义的。(7)这个事实对全部逻辑和哲学有极重要的影响，因为它表明逻辑和哲学跟专门科学是如何的不同。但是提出的这些问题是如此之大又如此之难，因此要在这里继续深究下去是不可能的。

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(1)　《哲学著作全集》，格哈特版，第1卷，第338页。

(2)　《在四篇对话中对有关力学和位置运动的两门新科学的数学论说》，托斯康尼大公的首席哲学家和数学家伽利略·伽利莱著，格林威治科学院已故院长T·魏斯顿从意大利文译成英文，并由现任院长J·魏斯顿刊印。见第46页以下诸页。

(3)　见他的著作《普通集合论基础》和《数学会议录》第2卷上的论文。

(4)　我在不知道弗雷格著作的情况下曾重新发现了此书中所包含而在《算术原理》（第1卷，1893年；第2卷，1903年）中详细论证的数的定义。我愿尽可能强调地指出（人们似乎仍然常常忽视这一点），弗雷格的发现比我早18年。

(5)　贾尔斯：《中国文明》（家庭大学文库），第147页。（按：惠施的话见《庄子》杂篇“天下”篇，原文为：“黄马骊牛三。”对这句话，注家有不同的解释。贾尔斯的解释可备一说。——译注）

(6)　参见《数学原理》，第20节及导论，第3章。

(7)　我在上面的这些议论利用了我的朋友路德维希·维特根斯坦未发表的著作。