第六讲 无限性问题之历史的考察

大家会记得，我们曾列举对可感世界的实在性提出疑问的若干理由，其中之一就是人们所假定的无限性和连续性的不可能性。由前面对物理学的讨论来看，似乎不存在有利于证明感官对象或物质中无限性或连续性的决定性的经验证据。不过，从科学的观点看，假定无限性和连续性的那种说明较之任何其他的说明仍然是极其容易和自然的，而且由于康托尔已经证明人们所设想的一些矛盾是虚幻的，那就再也没有任何理由去追求对世界的一种有限论的说明了。

人们所设想的连续性的困难，其根源全在这个事实，即一个连续的系列必有无穷多的项，连续性的困难实即关于无限性的困难。因此，解除无限性的矛盾，同时就证明了科学上所假定的连续性的逻辑可能性。

我们可以康德的头两个二律背反为例来说明无限性被用以使人怀疑感官世界的那种方法。在第一个二律背反中，正题是：“世界在时间上有一个开端，在空间上有一个界限。”反题是：“世界在时间上没有开端，在空间上没有界限，无论在时间上和空间上，世界都是无限的。”康德宣称对这两个命题都做了证明，然而，如果我们关于现代逻辑所说的话有任何真理性，那么要证明任何一个命题都是不可能的。无论如何，为了拯救感官世界，摧毁其中一个命题的证明也就足够了。对我们当前的目的来说，使我们感兴趣的是关于世界是有限的那个证明。康德在这个证明中对空间的论证是建立在他对时间的论证之上的。因此我们只需考察他对时间的论证。他的论证如下：

“试假定世界在时间上没有开端，从而在到达每个给定的瞬间时，无穷的时间已经过去了，因此在世界上有一个无穷系列的事物的连续状态已经过去了。但是一个系列的无限性恰恰在于，它永不可能由连续的综合所完成。因此，一个无穷的过去的世界系列是不可能的，于是世界有一个开端乃是世界存在的必要条件；这是要加以证明的第一点。”

对这个论证可能有各种不同的批评，但是我们将只做一点点最低限度的批评。首先，把一个系列的无限性定义为“不可能由连续的综合所完成”是错误的。我们在下一讲中将看到，无限性的概念主要是类的属性，而且只能引申地应用于系列；无穷类是通过定义其分子的属性而同时被给予的，因而并不存在“完成”的问题或“连续的综合”问题。“综合”这个词，由于暗示综合的心理活动，多少有点秘密地引入了全部康德哲学都沾染上的那种同心灵的关联。其次，当康德说一个无穷系列“永不”可能由连续的综合所完成时，他有权利（即使是想像的）说的一切不过是说无穷系列不可能在有限时间内完成。因此他实际证明的顶多是：如果世界没有开端，它必已存在了一个无限的时间。然而，这是一个非常可怜的结论，决不适于他的目的。如果愿意的话，达到这个结果我们就可以向第一个二律背反告别了。

不过，康德怎么会犯这样一个基本的错误，还是值得思考的。在他的想像中出现的显然是像下面这样的东西：从现在出发，在时间上进行回溯，如果世界没有开端，就有一个无穷的事件系列。正如我们从“综合”一词看到的，他想象有一个心灵力图在与这些事件发生顺序相反的顺序上，即从现在向后回溯，来连续不断地把握这些事件。这个系列显然是一个没有终点的系列。但是直到现在的事件的系列是有终点的，它以现在为终点。由于他在心理习惯上根深蒂固的主观主义，他没有注意到，他用回溯的综合代替前进的事件，就已完全改变了系列的涵义，因此他认为必须把没有终点的心理系列与有终点但无开端的物理系列加以等同。我认为，正是这个错误不自觉地起作用，使他把一个毫无价值的谬误推理视为正当有效。

第二个二律背反说明连续性问题从属于无限性问题。正题是：“世界上一切复合的实体都是由简单的部分构成的，无论什么地方存在的只有简单的东西或由简单的东西组成的东西。”反题是：“世界上任何复合的东西都不是由简单的部分构成的，无论什么地方都不存在简单的东西。”像前一个二律背反一样，对这个二律背反的正题和反题的证明也遭到批评，但是为了维护物理学和感官世界，只要找出其中一个证明的谬误也就足够了。为此我们选择了反题的证明，其开头如下：

“假定一个复合物（实体）是由简单的部分构成的。既然一切外在关系，因而一切实体的组合都只有在空间中才是可能的，那么复合物所占的空间和复合物一样都必定是由许多的部分构成的。然而空间并不是由简单的部分而是由诸空间构成的。”

他的论证的其余部分我们无需涉及，因为这个证明的核心就在“空间并不是由简单的部分而是由诸空间构成的”这一断语。这正如柏格森之驳斥“认为运动由诸多不动状态构成的荒谬命题”。康德没有告诉我们，他为什么主张一个空间必由诸空间而不是由诸简单部分构成。几何学认为空间是由点构成的，点是简单的；如前所见，尽管这个观点不是科学上或逻辑上必然的，但表面看来它还是可能的，而它的这种纯粹的可能性就足以使康德的论证归于无效。因为如果他对这个二律背反的正题的证明是正确的，又如果反题只能通过假定点来避免，那么这个二律背反本身就会提供一个支持点的决定性的理由。那么康德为什么认为空间不可能是由点组成的呢？

我想大概有两点考虑影响了他。首先，关于空间主要的东西是空间顺序，而仅仅点本身是不能说明空间顺序的。他的论证显然假定了绝对空间；但是惟有空间关系才是重要的，而且它们不可能归结为点。因此，他的观点的这个根据依赖于他对顺序的逻辑理论的无知以及在绝对空间和相对空间之间的摇摆。但是他的观点还有另外一个根据，它和我们现在谈论的题目更有关系。这就是从无限可分性得来的根据。一个空间可分成两半，然后再分成两半，如此以至无穷，而在这个过程的每个阶段上，各个部分仍是空间，而不是点。要用这种方法达到点，就必须走到一个无限过程的终点，这是不可能的。但是正如无穷类虽不能由连续枚举得到，却可由其定义概念一下子提供出来，同样地点的无穷集合虽永不能由连续分割的过程得到，却可在组成直线或面积或体积时一下子提供出来。因此空间的无限可分性并没有提供任何根据来否定空间是由点组成的。康德没有为这种否定提出自己的根据，因此我们只能猜测这些根据是什么。但是上面两点根据我们已经看到是谬误的，它们似乎足以说明他的观点，因此我们可以得出结论说，第二个二律背反的反题是未被证明的。

上面对康德二律背反的说明只是为了指出无限性问题与感官对象的实在性问题大有关系。在本讲剩余的时间里，我想讲述和解释无限性问题，指出这个问题是怎样产生的，并指出哲学家们提出的一切解决办法都不恰当。在下一讲中我将试来解释已由数学家发现，但本质上属于哲学的真正的解决。这个解决使所有仔细研究它的人都感到满意和信服，在这个意义上，它是确定无疑的解决。人类理智被这个问题困扰了两千多年；它的许多的失败和它的最后的成功使这个问题特别适用于作为说明方法的例证。

这个问题最初似乎是像下面所说的那样产生的。(1)毕达哥拉斯及其门徒像笛卡儿一样对数之应用于几何学有兴趣，他们在几何学中采用了比我们熟悉的欧几里得的那些方法更加算术化的方法。他们或者他们的同时代人原子论者显然认为，空间是由不可分的点组成的，时间是由不可分的瞬间组成的。(2)这个信念本身大概还没有引起他们所碰到的困难，但是与此相伴可能另有一个信念，即认为点的数目在任何有限范围内或瞬间的数目在任何有限的时段内必然是有限的。我并不设想这是一个自觉的信念，因为他们也许是没有想到还有别的可能性。但是这个信念还是起了作用的，它很快就使他们与自己发现的事实发生了冲突。不过，在说明这是如何发生的之前，我们有必要对“有穷数”一词略加解释。精确的解释是下一讲的事情；现在我只是说明，我所谓0，1，2，3，等等，永远是指能以连续加1而得的任何数。这包括所有能用我们通常的数词来表达的数。由于这些数可以搞得愈来愈大而又永远达不到一个超不过的极大，我们就很容易想像不存在任何其他的数。但是这个设想虽很自然，却是错误的。

毕达哥拉斯学派自己是否相信时空是由不可分的点和瞬间组成的，这是一个有争论的问题。(3)他们似乎还没有明白地区别空间和物质，因此，当他们表达了一种原子论的观点时，很难判定是指物质微粒还是指空间的点。亚里士多德《物理学》中有一段很有意思的话，(4)他说：

“毕达哥拉斯学派都主张虚空存在，而且认为它从无边无际的呼吸进入天宇，因为天宇也在虚空中呼吸着；虚空使自然物发生区别，它好像是对连续物的一种分离，好像是对它们的区分；而这首先也是数的情形，因为正是虚空使数区分开来。”(5)

这似乎意味着他们认为物质是由其间带有空的空间的原子构成的。但果如此，则他们必认为空间可通过仅仅注意原子来加以研究，因为否则就难以说明他们在几何学上的算术方法，也难以说明他们所说的“事物是数”的论断。

毕达哥拉斯学派在试图应用数时遇到的困难是由于发现了不可通约数而产生的，而这个发现则是像下面所说那样产生的。正如我们年轻时都学过的，毕达哥拉斯发现了直角三角形两夹边平方之和等于弦的平方这个定理。据说，当他发现了这条定理时，曾献祭了一头牛；果真如此，这头牛就是科学的第一个殉难者了。这个定理虽然一直是使他赢得不朽英名的主要功绩，但是人们很快就看到这个定理对他的整个哲学有一种致命的后果。试看两夹边相等的直角三角形的情形，这种三角形是由两条形成直角的边和一条斜边构成的。根据毕达哥拉斯定理，这里斜边的平方是任一夹边的平方的两倍。但是毕达哥拉斯或他早期的门徒很容易证明，一个整数的平方不可能是另一整数的平方的两倍。(6)因此夹边之长和斜边之长是不可通约的；这就是说，不论你取的长度单位多么小，如果它以精确的倍数被包含在夹边中，那么它就不能以任何精确的倍数被包含在斜边中，反之亦然。

现在这个事实也许没有多大困难就被某些哲学消化了，但是对毕达哥拉斯的哲学来说它确实是致命的。毕达哥拉斯认为，数是万物的构成要素，然而没有两个数能够表达夹边和斜边的比例。我们如果假定毕达哥拉斯认为线的长度是由它所包含的原子的数目决定的（2英寸长的线包含的原子是1英寸长的线所包含的原子的2倍），似乎就可以扩大他的困难而并不背离他的思想。但是如果真是这样，那么在任何两个有限的长度之间都必然有一个确定的数字的比例，因为已经假定每条线包含的原子的数目不论多么大，都必是有限的。这里有一个无法解决的矛盾。据说，毕达哥拉斯学派决定对不可通约数的存在严守秘密，只告诉这个团体的少数几个最高的头头；据说其中的一个，美达彭森的希帕索斯由于不敬神把这个可怕的发现泄露给了敌人，竟遭海上沉船之灾。必须记住，毕达哥拉斯既是一门新科学的教师，又是一种新宗教的创始人。他的门徒如果对科学产生怀疑，就会陷入罪孽，甚至也许要罚吃豆子，在毕达哥拉斯看来，吃豆子像吃父母的骨头一样不祥。

随着时间的推移，最早由不可通约数之发现所引起的问题已表明是人类理智在理解世界上所遇到的最困难又最有深远影响的问题之一。它同时表明，如果要对长度做精确的数的量度，就必须有一种比古代人所有的更高更难的算术。因此古代人就着手在不假定数的量度普遍可能的基础上改造几何学，正如在欧几里得那里可以看到的，他们以卓绝的技巧和极大的逻辑敏锐力完成了这一改造。近代人在笛卡儿几何学的影响下，重新肯定了数的量度是普遍可能的，他们部分地为此之故把算术扩大到把连现在所谓“无理”数（即得出不可通约的长度比例的数）都包括进去了。虽然人们长久使用无理数而毫不怀疑，但只是到了近年才提出了逻辑上满意的定义。用这些定义已经解决了毕达哥拉斯学派所遇到的难题的第一种和最明显的形式；但这个难题的其他一些形式仍有待考察，而且就是这形式把我们引到纯粹形式的无限性问题。

我们已经看到，既然承认一个长度是由点组成的看法，那么不可通约数的存在就证明每一有限的长度必包含无穷多的点。换言之，如果我们要把这些点一个接一个地拿掉，那么不论这个过程持续多久，我们都永远不会把所有的点拿掉的。因此点的数目是不可数的，因为数数就是把事物一个一个地列举出来。不可数的性质是无穷集合的特点，而且是它们的许多悖论性质的根源。这些性质是如此之悖理反常，以致直至今日人们都认为它们构成逻辑的矛盾。从芝诺(7)到柏格森的一系列哲学家都把他们的形而上学大部分建立在假定的无穷集合之不可能上面。大致说来，芝诺已经陈述了这些困难，直到波尔查诺的《无限的悖论》一书，并没有增加什么实质性的东西。波尔查诺的这部著作是一本小书，写于1847至1848年，死后于1851年出版。从芝诺到波尔查诺，所有探究这个问题的尝试都是无用的，微不足道的。对这些困难的确实解决应归功于康托尔，而不是波尔查诺，康托尔关于这个问题的著作最早于1882年问世。

为了理解芝诺，并且认识到现代正统形而上学并没有给希腊人的成就增加什么东西，我们必须对芝诺的老师巴门尼德略做考察，那些悖论就是为了支持他而创造出来的。(8)巴门尼德在一首诗中阐述了他的观点，这首诗分成两个部分，叫做“真理的道路”和“意见的道路”，这二者就如布拉德莱先生的“现象”与“实在”之分，只是巴门尼德首先谈实在，然后谈现象。大致说来，在巴门尼德哲学中，“意见的道路”是指毕达哥拉斯主义；他的诗篇这一部分开头就预告说：“这里我将结束我对真理的确实可信的谈话和思想。从此你要学习凡人们的意见，且听我的诗句的骗人虚构吧。”此前的事已由一位女神宣示出来，她告诉他真实的存在是什么。她说，实在是不被创造，不可毁灭，不变化、不可分的；它是“在巨大锁链的束缚中不动的，没有开端也没有终点；因为产生和消逝已被远逐，真正的信念已把它们抛弃”。他的研究的基本原则用一句话来说，就是：“你不可能知道非存在（那是不可能的），也不可能说出它；因为可被思维和可能存在是同一回事。”这个话放在黑格尔那里倒很适当。(9)巴门尼德又说：“凡是可思和可说者必定存在；因为存在者的存在是可能的，非存在的存在是不可能的。”变化之不可能即由这个原则推出；因为过去的东西都是可说的，所以，根据这个原则，就仍然存在。

因此巴门尼德看来并不是为了神秘的或宗教的理由，而是根据非存在之不可能的逻辑论证，在西方哲学中导入了一个重大的概念，关于在流逝的感觉幻象之后的实在，惟一、不可分和不变的实在的概念。一切伟大的形而上学体系（柏拉图、斯宾诺莎和黑格尔的那些著名的形而上学体系）都是这个基本观念的产物。要把这种观点中的真理与谬误分开是困难的。我想，认为时间是不实在的、感官世界是虚幻的这种论点必须被看作是建立在谬误推理之上的。不过，在某种意义上（这一点感之甚易，而言之实难），时间是实在的一个不重要的表面特征。必须承认，过去和将来都如现在一样是实在的，从时间的羁绊中获得某种解放，乃哲学思维所必需。时间的重要性是实际的而非理论的，是与我们的欲望有关而非与真理有关的。我认为，把事物描绘成从一个外在的永恒世界进入时间之流中，较之把时间看作吞噬万有的暴君的那种观点，给我们以更真实的世界形象。无论在思想上还是在感情上，领悟到时间的不重要，乃是智慧的大门。但是不重要并非不实在；因此对于芝诺支持巴门尼德的那些论证，我们所要说的必然主要是批判性的。

关于芝诺与巴门尼德的关系，柏拉图在《巴门尼德篇》（128A—D）中作了说明，在这篇对话中青年苏格拉底从巴门尼德、芝诺的问答论辩中学习逻辑技巧和哲学上的超然态度。下面是引自周伊特译本的一段对话：

“巴门尼德啊，苏格拉底说，我明白了，芝诺在其著作中也是你的第二自我；他用别的方式把你说的东西说出来，想骗我们相信，他告诉我们的是新的东西。因为你在你的诗里说一切是一，并对此作了卓越的证明；而他则反过来说没有多，并为此提供了令人叹服的证据。像你们这样用不同的方法讲同一件事情，一个肯定一，另一个否定多，来欺骗世人，真是我们大多数人力不能及的一门艺术。

“是的，苏格拉底，芝诺说。你虽敏锐如跟踪追迹的斯巴达猎犬，但是你并没有十分理解我的著作的真正动机，它实际上并不是如你想象的那样抱负不凡；因为你所讲的是一个偶然的情况；我并没有诚心欺骗世人的意思。事实上我的这些著作是为了保护巴门尼德的论证，反对那些嘲笑他的人，这些人指出有许多可笑的和矛盾的结论会从肯定一推出来。我的回答是对主张多的人讲的，我对他们的攻击加倍还击，反驳他们说，他们关于多存在的假设，如果贯彻下去，会比关于一存在的假设更加荒谬可笑。”

芝诺否定运动的四个论证是要揭示由于假定有变化而得到的矛盾结果，从而证明巴门尼德的实在不变的学说。(10)遗憾的是，我们只能从亚里士多德的著作中了解这些论证，(11)亚里士多德之讲到它们则是为了驳斥它们。今天的哲学家，自己的学说被反对者引述过的，都会明白，很难期望亚里士多德对芝诺的观点会有一个正确的或恰当的表达；不过，经过仔细的解释，把古往今来一切初学者都要“驳斥”一番的那些所谓“诡辩”重构出来，似乎是可能的。

芝诺的论证似乎都是“对人”设论的；这就是说，它们似乎是假定了反对者所承认的前提，并指出承认了这些前提有可能推出反对者必定否认的结论。为了判定它们是正当有效的论证还是诡辩，我们必须推测一下那些隐含的前提，并判定这些论证所针对的究系何“人”。有些人认为，它们是针对毕达哥拉斯学派的，(12)而另一些人则认为，它们是要驳斥原子论者的。(13)相反地，M·艾弗林认为，这些论证是对无限可分性的驳斥，(14)而M·G·诺埃尔为了有利于黑格尔却认为，头两个论证是驳斥无限可分性，后两个论证则是驳斥不可分的东西的。(15)在诸如此类令人眼花缭乱的各种解释中间，我们至少不能抱怨自己的选择自由受到了什么限制。

上述讨论提出的历史问题无疑地大都是无法解决的，因为从中取得证据的资料太缺乏了。下面几点看来还是清楚的：

（1）尽管米约和汤纳里认为芝诺的论证是反对毕达哥拉斯学派的，但是芝诺所急欲证明的是运动实际上不可能，他之所以要证明这一点，是因为他追随巴门尼德否认多；(16)（2）第三个和第四个论证是根据有不可分的东西的假设进行的，无论毕达哥拉斯学派是否采纳，这个假设肯定是为许多人所主张的，这从被归之于亚里士多德的论文《论不可分的线》中就可看到。至于头两个论证，根据不可分的东西的假设，它们似乎是正确的，而且即使没有这个假设，如果传统的无穷数的矛盾是不可解决的，那么它们似乎也是正确的，不过这个矛盾不是不可解决的。

因此，我们可以得出结论说，芝诺的辩论是反对认为时空由点和瞬间构成的观点的；就其反对有限长度的时空由有限数目的点和瞬间构成这种观点而言，他的论证不是诡辩，而是完全正确的。

芝诺想使我们做出的结论是：多是一种幻想，时空实际上是不可分的。另一可能的结论即点和瞬间的数目是无限的，只要无限带有矛盾，就是不能成立的。在反对运动的四个著名论证之外的一段残篇里，芝诺说：

“如果事物是多，它们必恰如其实际存在那样多，既不多也不少。但是，如果它们正如实际存在那样多，它们在数目上就会是有限的了。

“如果事物是多，它们在数目上就会是无限的；因为在事物之间永远有一些别的事物，而在这些别的事物之间又有一些别的事物。因此事物在数目上是无限的。”(17)

这个论证是要证明，如果有许多的事物，事物的数目必然既是有限的，又是无限的，而这是不可能的；因此我们应该得出结论说：只有一物存在。但是这个论证的弱点就在这句话：“如果它们正如其实际存在那样多，它们在数目上就会是有限的了。”

这句话不甚清楚，但是它显然假定了确定的无限的数目是不可能的。这个假定我们现在已经知道是错误的了，但是如果没有这个假定，芝诺的论证虽足以（根据某些很合理的假定）排斥有限的不可分的东西的假设，却不足以证明，运动、变化和多是不可能的。但是，无论从什么观点看，这些论证都不是纯粹荒谬的狡辩。它们是严肃的论证，这些论证引起了一些困难，回答这些困难用了两千年的时间，而且即使今天对于大多数哲学家的学说它们还是致命的难题。

芝诺的第一个论证是赛场的论证，伯内特把它意译如下：(18)

“你不可能达到赛跑场的终点。你不可能在有限时间内越过无穷多的点。你在通过全程之前必先通过任一给定的距离之半，在你通过这一半距离之前又须先通过这一半距离之半。如此以至无穷，因而任一给定的空间上都有无穷多的点，而你在有限的时间内是不可能一个一个地接触到无穷多的点的。”(19)

在这里芝诺首先诉诸任何距离无论如何小都可分成两半这一事实。由此自然就推出，一条线上必有无穷多的点。但是，亚里士多德却把他说成是在论证你在有限时间内不可能一个一个地接触到无穷多的点。“一个一个地”一语很重要。（1）如果涉及的是所有被接触的点，那么你虽然连续地通过它们，但并未“一个一个地”接触它们。这就是说，接触一个点之后，并没有你紧接着接触到的另一个点，没有任何两个点是互相紧接着，而是在任何两个点之间都永远有无穷多其他的点，这些点是不能一个一个地数出来的。（2）反之，如果涉及的只是相互接续的中间的点，这些点是通过把路程剩余的部分不断分为两半得到的，那么这些点就是一个一个地达到的，而且它们在数目上虽是无限的，事实上却都是在有限时间内达到的。他的与此相反的论证可以设想是乞援于下面这个观点的，即：一个有限的时间必是由有限数目的瞬间构成的，在这种情况下，根据连续二分的可能性不可否认的假定，他所说的是完全对的。相反地，如果我们认为这个论证是反对主张无限可分性的人的，那么我们必须设想其进行如下：(20)“把还需通过的距离不断分成两半所得的点在数目上是无限的，而且是接连相续地达到的，而到达每一点都在到达其前一点之后的一个有限的时间；但是无穷多有限时间的总和必是无限的，因此这个过程永远不会完成。”从历史上看，这很可能是一个正确的解释，但是这个形式的论证是不正确的。如果路程之半需走半分钟，下面1/4路程需走1/4分钟，如此类推，整个路程将需1分钟。按照这个解释，这个论证表面看似颇有力，只是由于下面这个错误的假设，即：除了无限系列的整体之外，不可能有任何东西。我们看到1是在1/2，3/4，7/8，15/16……这整个无限系列之外的，就可知道这个假设是错误的。

芝诺的第二个论证是关于阿基里斯和龟的，这个论证比别的论证更出名。伯内特把这个论证意译如下：(21)

“阿基里斯永远追不上龟。他必须首先到达龟出发的地点。那时龟将已前进了一段路。于是阿基里斯必须补上这段路，而龟则又向前进了。他将愈来愈接近龟，但是永远追不上它。”(22)

这个论证与前一个论证本质上是一样的。它表明，如果阿基里斯能追上龟，那必是从他起跑之后经过了无穷多的瞬间。这实际上是对的；但是认为无穷多的瞬间构成一个无限长的时间则是不对的，因此不能得出阿基里斯永远追不上龟的结论。

第三个论证，(23)即飞矢的论证，是非常有趣的。对这个论证的原文人们有争论。伯内特接受泽勒的改动，意译成这样：

“飞矢是静止的。因为如果每个事物在占据一个与自身相等的空间时是静止的，而飞行的东西在任何瞬间总是占据一个与自身相等的空间，那么飞矢就不可能移动。”

但是照普朗特尔的意见，亚里士多德陈述这个论证的未经修正的原文直译如下：“如果每个事物在以齐一的方式动作时，或是连续运动着，或是连续处于静止，但运动的东西总是在现在中，那么飞矢就是不动的。”这个形式的论证比伯内特的意译更清楚地显示了它的确切含义。

如果说前两个论证并未假定一个有限的空间部分是由一个有限系列的接连相续的瞬间构成的，那么这个论证则似乎假定了这个观点；无论如何这个论证之好像讲得有道理似乎就依赖于有致密相连的瞬间这个假设。据说，在一个瞬间中，一个运动的物体是在其所在的地方。在这个瞬间中，它不可能运动，因为那就要求这个瞬间还包含部分。例如，假设一个由一千瞬间组成的时段，并假设飞矢穿过这个时段。在这一千瞬间的每个瞬间上，这支矢都是在它所在的地方，虽然在下一瞬间它又在另外的地方了。它是永远不动的，但是在各瞬间之间，就是说，不是在任何时间上，却必以某种不可思议的方式发生位置的变化。这就是柏格森所说的实在的拍电影式的表现。这个困难愈被调解，它就愈真实。解决就在于连续系列的理论。我们看到很难不假定，箭矢在飞行时在下一个瞬间占据下一个位置；但是事实上并没有下一个位置，也没有下一个瞬间，一旦在想象上领悟了这一点，就可看到这个困难消失了。

芝诺的第四个也是最后一个论证是运动场的论证。(24)

伯内特对这个论证的陈述如下：

“时间的一半可等于时间的一倍。设有三排物体，其中一排（A）静止，其余两排（B，C）以同一速度在相反方向上运动。在它们全都处于途程的相同部分时，B排将通过C排物体之数为其通过A排物体之数的一倍。因此它要通过C所用的时间为其通过A所用的时间的一倍。但是B和C要达到A的位置所用的时间是相同的，因此时间之倍等于时间之半。”

盖伊曾写过一篇有趣的论文解释这个论证。(25)他对亚里士多德的陈述翻译如下：

“第四个论证是关于两排物体的论证，其中每一排都是由同等数目的同样大小的物体组成的。它们各以同等速度在相反方向上前进时，在一条跑道上交错经过，一排原来占据跑道的终点和中点之间的空间，另一排占据中点和起点之间的空间。他认为，这包含了某一时间之半等于该时间之倍的结论。这个推理的谬误在于，它假定了一个物体在以相同速度通过一个运动中的物体和一个处于静止的同样大小的物体时需要相等的时间。这是一个错误的假定。例如（这个论证这样写道），设AA……是大小相等的静止的物体，BB……是与AA数目相同、大小相等的物体，原先占据从诸A的起点到中点的路程之半，CC……则是原先占据从诸A的终点到中点路程的其余一半的那些物体，这些物体与BB……数目相同，大小和速度相等。于是有三种结果随之而来。第一，当诸B和诸C互相经过时，第一个B到达最后的C的时间与第一个C到达最后的B的时间相同。第二，当此之际，第一个C已经过所有的A，而第一个B则只经过诸A之半，因而只需第一个C所需的时间之半，因为第一个C和第一个B二者每个在经过每个A时都需要相等的时间。第三，与此同时，所有的B已经经过所有的C，因为第一个C和第一个B将同时到达跑道的相反两端。芝诺说，第一个C经过每一个B时所需的时间与它经过每一个A时所需的时间相等，因为第一个B和第一个C经过所有的A需要一个相等的时间。这就是那个论证，但是它是以上述的错误假定为前提的。”

这个论证不是很容易了解的，而且只有在反对有限的时间由有限数目的瞬间组成这个假定上是有效的。我们可以不同的说法把它重新陈述一下。假设有三位教官：A，A′，A″，站成一排，有两队士兵从相反的方向分列行进。在我们考察的最初一刻，站在一列的三个人B，B′，B″和站在另一列的三个人C，C′，C″与A，A′，A″相对应。在紧接着的下一刻，每一列都移动，B和C″现在与A′相对。于是B和C″彼此相对。那么B是何时经过C′的呢？它必然在我们假定为致密相连的两个时刻之间处于某处，因而这两个时刻实际上不可能是致密相连的。由此可推知，在任何两个给定的时刻之间必有其他一些时刻，因而在任一给定的时间间隙都必有无穷多的时刻。

上述这个困难，即B必在两个致密相连的时刻之间的某个时间经过C′，是一个真正的困难，但这并不就是芝诺提出的那个困难。芝诺声称要证明的是“某个时间之半等于该时间之倍”。就我所知，对这个论证的最清楚明白的解释是盖伊的解释。(26)不过，由于他的解释不易简短地加以表述，我把在我看来是芝诺争论的逻辑本质的东西重新陈述一下。如果我们假定，时间是由一系列致密瞬间组成的，运动就是经过一系列致密的点，那么可能的最快的运动就是在每一瞬间都处于同它前一瞬间所处的点紧密相连的点上的运动。任何较慢的运动必是有其他的点相间隔的运动，任何较快速的运动必完全略掉了若干点。所有这些从我们不可能在每一瞬间有一个以上的事件这个事实即可明白看出。但是在诸A，诸B和诸C的情形中，B在每一瞬间都与一新A相对，因此B所经过的A的数目就是从运动开始以来的瞬间的数目。但是在运动之际，B所经过的是诸C的一倍，然而不可能每一瞬间经过一个以上的C。因此从运动开始以来的瞬间的数是B所经过的A的数目的一倍，虽然我们先前发现它们的数目相等。芝诺的结论即由这个结果推得的。

芝诺的几个论证在某种形式上为从他那个时代直至今日所构造的几乎所有关于时空和无限性的理论提供了根据。我们已经看到，根据有限的时空由有限数目的点和瞬间构成这个假定，芝诺的论证（加上某些合理的假设）都是正当有效的，第三第四两个论证无疑是根据这个假定进行的，第一第二两个论证或许意在驳斥相反的假定，但在那种情况下却是错误的。因此我们可以下述几种方法来避免芝诺的悖论，一是主张时空虽确由点和瞬间构成，但其数目在任何有限的间隔中都是无限的；二是根本否定时空由点和瞬间构成；三是完全否定时空的实在性。芝诺本人作为巴门尼德的支持者，在这三种可能的演绎中似乎取最后一种，无论如何就时间来说是这样的。在这一点上，有很多哲学家是追随他的。还有许多哲学家，如柏格森，则宁愿否定时空是由点和瞬间构成的。无论哪种解决办法都可以回答芝诺提出这些论证的形式的困难。但是，我们已经看到，如果可以采用无穷数，那么这些困难也是可以回答的。根据独立于时空的一些理由，无论如何必须承认无穷数和没有两个项致密相连的系列。例如，看一看按大小顺序排列的所有小于1的分数。在其中任何两个分数之间，都有其他一些分数，例如这两个分数的算术平均值。因此没有两个分数是致密相连的，而诸分数的总数是无限的。我们将看到，芝诺关于一条线上点的系列所说的大都同样可以适用于分数系列。我们不能否认有分数，因此上述避免芝诺悖论的方法有两种是我们不能采取的。由此可见，如果我们要用类比来解决由芝诺悖论而来的整个一类困难，我们就必须找到某种言之成理的关于无穷数的理论。那么，直至最近30年使哲学家们认为无穷数是不可能的，究竟是一些什么困难呢？

关于无限性的困难有两类，第一类困难可说是虚假的，另一类困难要得到解决则涉及一定的崭新而不甚易解的思想。虚假的困难是由语源学提出的那些困难以及由于混淆了数学的无限和哲学家们不恰当地称为“真”无限的东西而引起的那些困难，从词源来说，“无限的”意为“没有终点”。但事实上有些无穷系列有终点，有些没有终点；有些集合是无穷的但是非系列的，因而严格说来既不能说是无终点的，也不能说是有终点的。从任何前一瞬间到任何后一瞬间（两者都包括在内）的瞬间系列是无穷的，但是有两个终点；从时间的开端到当前此刻的瞬间系列有一个终点，但是无穷的。康德在第一个二律背反中似乎认为，过去之为无限的较之未来更为困难，理由是过去是现在已经完成了的，而任何无限的东西都不可能是完成的。很难了解他怎么会设想这种说法有任何意义；不过最大的可能似乎是他把无限看作“无终点”了。奇怪的是他竟没有看到，未来也有一个终点即是现在，未来和过去恰恰是彼此等同的。康德认为过去和未来在这方面是不同的，正好说明了时间对人的那种奴隶式的束缚，我们在谈到巴门尼德时都同意，真正的哲学家必须学会摆脱这种束缚。

哲学家的概念中由所谓“真”无限带来的混淆是很奇怪的。他们知道这个概念与数学的无限不是一回事，但是他们又宁愿相信，这个概念正是数学家们亟欲得之而未能的。因此他们恳切然而坚决地告诉数学家们说，他们墨守“假”无限是错误的，因为“真”无限显然是某种全然不同的东西。我们对这个忠告的回答是：其所谓“真”无限者，乃是一个与数学的无限问题全不相干的概念，二者只有一种空幻的字面上的类似而已。二者的差别是如此之远，我甚至不想谈“真”无限究为何物，以免混淆论点。与我们有关的是这个“假”无限，我们必须指出，“假”这个贬词是用之不当的。

不过，在理解无限上确有一些真正的困难，这就是心灵的某些习惯，这些习惯来自对有穷数的考察，而且由于人们错误地以为这些习惯表示逻辑的必然性，很容易把它们推广到无穷数上去。例如，除0之外，我们所熟悉的每个数都有一个紧接在它前面的其他的数，每个数都是由在它之前的这个数加1而得的；但是第一个无穷数并不具有这种性质。在无穷数之前的那些数构成一个无穷系列，这个系列包含了所有通常的有穷数，它没有极点，没有一个最后的在它之后再进一小步就投入无限的有穷数。如果假定第一个无穷数是通过一小步一小步持续不断地前进而达到的，那么我们很容易指出，这是自相矛盾。事实上，第一个无穷数是超出了有穷数的整个没有终结的系列的。人们会说：“但是不可能有任何东西超出整个没有终结的系列。”我们可以指出，这正是芝诺在赛跑场和阿基里斯两个论证中所依据的原则。拿赛跑场论证来看：有一时刻赛跑者还有一半的路程要跑，然后到又一时刻他还有四分之一的路程要跑，然后到又一时刻他还有1/8的路程要跑，如此类推，构成一个确实是没有终结的系列。他到达目的地的时刻是在这整个系列之外。因此在一整个没有终结的系列之外肯定可以有某种东西。但是我们还须指出，这不过是我们意料之中的事。

我认为，这个困难，正如围绕数学无限的大多数更含糊不清的困难一样，来自计数观念的或多或少无意识的作用。如果你着手去计数一个无穷集合的项，你将永远完成不了你的任务。因此，在赛跑者的例子中，如果跑道的一半、3/4、7/8等等都加上标志，而且赛跑者只有在裁判员说了“跑！”才可以通过其中的一个标志，那么芝诺的结论在实际上就会是真的，赛跑者就会永远到达不了目的地。

但是我们能否把一个集合的各个项一一加以检查，这对这个集合的存在乃至关于这个集合的认识和推理并无本质的重要性。在有穷集合的例子中就可以看到这一点；我们可以谈论“人类”，虽然这个集合中的许多个人我们并不亲自认识。我们之所以能这样做，因为我们知道有许多特征是属于这个集合的每个个体所具有的，而不属于这个集合的个体则不具有。无穷集合的情形也正是如此：我们可以根据其特征而知其为无穷集合，尽管这种集合的项是不可举数的。在这个意义上，一个没有终结的系列还是可以构成一个整体，而且在这整个系列之外还可以有新的项。

无穷数的某些纯粹算术的特性也曾引起困惑。例如，一个无穷数加1或加1倍，并不使这个数增加。诸如此类的特性在许多人看来是违反逻辑的，但事实上它们只是违反了人的心理上的一些顽固的积习而已。这个问题上的全部困难是在于必须以一种人们不熟悉的方式去思考，而且要了解我们以为数所固有的许多性质实际是有穷数所特有的。记住这一点，对于下一讲所要讨论的积极的无限性理论，就不会像那些顽固坚持幼时所学算术所灌输的成见的人那样感到困难了。

* * *

(1)　有关早期希腊哲学家的东西，我的知识大多得自伯内特富有价值的著作《早期希腊哲学》（第2版，伦敦，1908年）。我也得到三一学院D·S·罗伯逊先生的大力帮助，他弥补了我的希腊语知识之不足，并使我注意到一些重要的参考文献。

(2)　参见亚里士多德，《形而上学》，M6，1080b，18行以下和1083b，8行以下。

(3)　有某种理由认为毕达哥拉斯学派区别了分离量和连续量。G·J·奥尔曼在《从泰勒斯到欧几里得的希腊几何学》中说（第23页）：“毕达哥拉斯学派把数学分为四部分，其中一部分属于对若干（how many）的研究，另一部分属于对多少（howmuch）的研究；而且他们又把两个部分各分为二。因为他们说，分离量或若干，或者独立自存，或者必须与某个别的量相联系来考察；但是连续量或多少，则或者是固定的，或者是处于运动中的。因此他们断定说，算术是思考独立自存的分离量，而音乐则是考虑与其他量相联系的分离量；几何学是考察不动的连续量；而天文学则思考具有自动性质的连续量。（《普罗克洛斯》，弗里德莱因编，第35页。关于连续量和分离量的区别，见扬布里库：《杰拉萨的尼科马库斯〈算术引论〉评注》，滕奴里乌斯编，第148页。）”参见第48页。

(4)　伯内特在《早期希腊哲学》第120页上曾引用这一段话。

(5)　《物理学》，iv．6.213b，22;H·里特和L·普雷勒：《希腊哲学史》，第8版，哥达，1898年，第75页（此书下引均简作“R．P．”）。

(6)　毕达哥拉斯的证明大致如下。假如可能，设斜边和夹边之比为m/n，m和n是没有共同因子的整数。因此必然mk=2nk。一个奇数的平方是奇数，但是mk既然等于2nk，却是偶数。因此m必是偶数。但是一个偶数的平方可除以4，而nk是mk之半，因此必是偶数。因此n必是偶数。但是既然m是偶数，而且m和n没有共同因子，n必是奇数。因此n必既是奇数又是偶数，而这是不可能的；因此斜边和夹边之比不可能是一个有理数。

(7)　关于芝诺和毕达哥拉斯学派，我从P·E·B·茹尔丹先生处得到很多有价值的知识和批评。

(8)　因此柏拉图在《巴门尼德篇》中让芝诺发言赞成巴门尼德的全部哲学；一切内外证据都证明了这个观点。

(9)　黑格尔说：“真正的哲学是从巴门尼德开始的。”载《黑格尔全集》，1840年，第8卷，第274页。

(10)　米约反对这个解释（《希腊的哲学家—几何学家》，第140页注），但是他提出的理由似乎不令人信服。下面的各种解释都有可置疑之处，但都有著名权威的支持。

(11)　《物理学》，vi．9.2396（R．P．136—139）。

(12)　参见G·米约：《希腊的哲学家—几何学家》，第140页注；P·汤纳里：《论希腊科学史》，第249页；伯内特：《早期希腊哲学》，第362页。

(13)　参见R·K·盖伊：“论亚里士多德《物理学》，Z ix.”，载《语言学杂志》，第31卷，尤其是第111页。亦请参阅M·康托尔：《数学史讲演录》，第1版，第1卷，1880年，第168页，不过他后来在该书第3版（第1卷，第200页）中接受了汤纳里的看法。

(14)　“运动和不可分的东西的主张者”，载《形而上学和道德评论》，第1卷，第382—395页。

(15)　“运动和埃利亚的芝诺的论证”，载《形而上学和道德评论》，第1卷，第107—125页。

(16)　参见M·布罗沙尔：“埃利亚的芝诺的臆造的诡辩”，载《形而上学和道德评论》，第1卷，第209—215页。

(17)　辛普里齐乌斯：《物理学》，140，28D（R.P．133）；伯内特：《早期希腊哲学》，第364—365页。

(18)　《早期希腊哲学》，第367页。

(19)　亚里士多德说的是：“第一个论证是关于运动不存在的论证，理由是运动的东西到达中点必永远比到达终点更快，关于这个问题在前面已经谈过我们的看法。”《物理学》，第6卷，9.939B（R．P．136）。亚里士多德似乎是指《物理学》，第6卷，2.223AB［R．P．136A］：“一切空间都是连续的，因为时间和空间被分成同样相等的部分。……因此芝诺的下面这个论证也是错误的，他说在有限时间内不可能通过一个无穷集合，或者说不可能一个一个地接触到一个无穷集合。‘无限的’一词被应用于长度和时间，而且事实上无论就可分性还是就终点而言被应用于一切连续的事物，都有两个涵义。在有限时间内接触到数目无限的事物是不可能的，但是接触到无限可分的事物却是可能的，因为时间本身在这个意义上也是无限的。所以实际上我们是在一个无限的［时间］、而不是在一个有限的［时间］内走过一个无限的［空间］，我们是以无限的事物而不是以有限的事物接触无限的事物。”6世纪的注释家菲洛彭奴斯作了如下的解释：“一个事物如果在一小时内通过一腕尺的空间，既然在每一空间上都有无穷多的点，这个运动的事物就必须接触空间的一切点；因此它要在有限时间内通过一个无穷的集合，而这是不可能的。”（R．P．136A，摘自菲洛彭奴斯的《亚里士多德〈物理学〉评注》，803，2。）

(20)　参见C·D·布罗德先生：“略论阿基里斯与龟”，载《心》，第22卷，第318—319页。

(21)　《早期希腊哲学》，第367页。

(22)　亚里士多德说的是：“第二个论证是所谓阿基里斯论证。这个论证是说，跑得最快者永远追不上跑得较慢者，因为追赶者永远必须首先达到被追赶者刚刚离开的地点，因此跑得较慢者必永远或多或少还在前面。”《物理学》，第6卷，9.239B（R．P．137）。

(23)　亚里士多德：《物理学》，第6卷，9.239B（R.P．138）。

(24)　亚里士多德：《物理学》，第6卷，9.239B（R.P．139）。

(25)　R·K·盖伊：“论亚里士多德《物理学》，Z ix．”，载《语言学杂志》，第31卷。

(26)　R·K·盖伊：“论亚里士多德《物理学》，Z ix．”，载《语言学杂志》，第31卷，第105页。